Exponentialverteilung


Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung, auch als negative Exponentialverteilung bezeichnet, ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über den nicht-negativen reellen Zahlen, die durch eine Exponentialfunktion beschrieben wird. Sie wird hauptsächlich verwendet, um die Dauer zufälliger Zeitintervalle zu modellieren, wie zum Beispiel:

Die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Anrufen.
Die Lebensdauer von Atomen während des radioaktiven Zerfalls.
Die Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen vernachlässigt werden.
Ein grobes Modell für kleine und mittlere Schäden in der Hausratversicherung, Kraftfahrzeug-Haftpflichtversicherung und Kaskoversicherung in der Versicherungsmathematik.

In dieser Verteilung steht λ (Lambda) für die erwartete Anzahl von Ereignissen pro Einheitsintervall. Wie aus dem Diagramm ersichtlich, sind kürzere Intervalle zwischen den Ereignissen (Intervalllänge x) wahrscheinlicher. Es können jedoch auch sehr lange Intervalle auftreten. Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann sogar Werte größer als 1 annehmen (z. B. für λ = 2), da die Fläche unter der Kurve auf 1 normiert ist (Normierungseigenschaft). Um konkrete Wahrscheinlichkeitsaussagen über das Eintreten des nächsten Ereignisses zu machen, greift man am besten auf die Verteilungsfunktion zurück.

Es ist wichtig zu beachten, dass die tatsächliche Verteilung oft nicht genau der Exponentialverteilung entspricht. Dennoch wird die Exponentialverteilung oft aus Gründen der Einfachheit angenommen, insbesondere wenn ein Poisson-Prozess vorliegt und die Annahmen des Poisson-Prozesses erfüllt sind.

Die Exponentialverteilung ist ein Teil der breiteren und allgemeineren Exponentialfamilie, einer Klasse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die sich durch ihre einfache Handhabung auszeichnen.