Zentraler Grenzwertsatz


Zentraler Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz (ZGW) ist eines der fundamentalen Konzepte in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Seine Bedeutung erstreckt sich über zahlreiche Anwendungsbereiche, von der empirischen Forschung bis hin zur Finanzmathematik. In seiner grundlegenden Form beschäftigt sich der ZGW mit der Verteilung von Summen unabhängiger Zufallsvariablen.

Definition Zentraler Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass, wenn man eine hinreichend große Anzahl unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit endlicher Varianz summiert, ihre normierte Summe gegen eine Normalverteilung konvergiert. Formal ausgedrückt: Seien X1,X2,X3,…,Xn unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert μ und der Varianz σ2. Dann konvergiert die Verteilung der standardisierten Summe

Zn=1σn∑i=1n(Xi−μ)

für n→∞ gegen die Standardnormalverteilung N(0,1).